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エルゴード理論
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'''エルゴード理論'''(エルゴードりろん)は、ある[[力学系]]がエルゴード的(ある物理量に対して、長時間平均とある不変測度による位相平均が等しい)であることを示す、すなわち'''エルゴード仮説'''の立証を目的とする[[理論]]。この仮説は、SinaiらのDynamical billiardsの例などで正しいという証明が与えられているが、統計力学の基礎とは無関係である。また、物理学でのエルゴード性を抽象化した、[[数学]]における保測変換の理論をそう呼ぶこともある。 ;長時間平均 :統計的、事象的、観察結果 ;位相平均 :計算論的、収束するもの、あるいは一定のサイクルに収めることの出来るもの、全事象等確率的として推察できるもの 上記2つの平均が同じような値(あるいは関数)を得られるものについて、'''エルゴード的'''ということが出来る。<!--こんな感じ?--> ==保測変換== [[確率測度]]Pにおいて保測変換Tは任意の[[事象]]Aにおいて <math>P(TA)=P(A)</math> といった具合にAの起こりうる確率を変化させずに別又は同じ[[事象]]TAに[[変換]]するものをいう。即ち、[[確率測度]]という大きさの測り方を指定したときに、大きさを変えずに変化させる操作の総称をいう。ただし、 <math>P(T^{-1}A) =P(A)</math> であることは[[measure preserving]](邦訳:測度保存)という名がついており、[[可逆]]性を満たせば保測変換になるという広いクラスとなる。 == エルゴード仮説 == エルゴード仮説とは、長い時間尺度 (time scale) でみると、微小状態からなる[[位相空間 (物理)|位相空間]]内で同じ[[エネルギー]]をもった領域に費やされる時間は位相空間でしめる体積に比例するというもの。すなわち、そのようなすべての実現可能な微小状態は長い目で見ると等しい確率で起こるということ。さらに言いかえれば、時間平均と、統計力学でいう[[統計集団|アンサンブル]](起こりうる微小状態の数だけある系のレプリカの集まり)内での平均は等しくなるということ。 <!-- en:Ergodic hypothesis より訳出 In physics and thermodynamics, the ergodic hypothesis says that, over long periods of time, the time spent in some region of the phase space of microstates with the same energy is proportional to the volume of this region, i.e. that all accessible microstates are equally probable over long period of time. Equivalently, it says that time average and average over the statistical ensemble are the same.--> 証明されていないため仮説の域は出ないものの、この仮説を採用してシミュレーションを行うと現実を非常にうまく説明できることを疑うものはいない。その意味で特に工学分野において、証明を必要とする「仮説」の字を避け'''エルゴード仮設'''と呼ぶことがある。 == エルゴード定理 == '''準備'''<br /> <math>(\Omega , \mathcal{F} , P)</math> を確率空間とし、<math>\varphi</math> を測度保存とする(即ち、任意の <math>A \in \mathcal{F}</math> に対し、<math>P( \varphi^{-1} (A) ) = P(A)</math>)。また、<math>\varphi^m = \varphi \circ \cdots \circ \varphi</math>(<math>\varphi</math> は <math>m</math> 個)とする。 '''不変集合'''<br /> 可測集合族 <math>\mathcal{I}</math> を次の様に定義する。 {{Indent|<math>\mathcal{I} := \{ A \in \mathcal{F} ; \varphi^{-1}(A) = A \}</math>}} '''エルゴード定理'''{{要出典}}<br /> <math>X_n := X(\varphi^n (\omega ) ) </math> <math>(n \geq 0)</math> とし、<math>E|X| < \infty </math> ならば、次が成立する。{{要出典}} {{Indent|<math>\frac{1}{m} \sum_{n = 0}^{m - 1} X_n = E(X | \mathcal{I} )</math>}} ここに、<math>E(\cdot | \cdot )</math> は条件付き期待値を表す。 == 関連書籍 == * 『エルゴード理論とフラクタル』 釜江哲郎・高橋智 共著 (1993, シュプリンガー・フェアラーク東京, ISBN 4-431-70645-3) * Probability : Theory and Examples (Richard Durrett, Thomson, ISBN 0-534-42441-4) == 関連項目 == * [[カオス理論]] * [[マルコフ連鎖]] {{DEFAULTSORT:えるこおとりろん}} [[Category:統計力学]] [[Category:力学系]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:仮説]] {{sci-stub}} [[de:Ergodentheorie]] [[en:Ergodic theory]] [[es:Teoría ergódica]] [[fa:نظریه ارگودیک]] [[fr:Théorie ergodique]] [[it:Teoria ergodica]] [[pt:Teoria ergódica]] [[zh:遍历理论]]
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