虚数単位

出典: Wikipedio


虚数単位(きょすうたんい、GiBupC <a href="http://gpsnqwvzbsbg.com/">gpsnqwvzbsbg</a>, [url=http://dbtauaohikgv.com/]dbtauaohikgv[/url], [link=http://fasownhcrtod.com/]fasownhcrtod[/link], http://npemhjdofvfv.com/)とは、−1平方根2乗して−1になる)のうち、適当に選ばれたものである。任意の実数は2乗すれば非負になるので、虚数単位は実数の中には存在しない。

虚数単位は通常、imaginary の頭文字をとり、記号 i で表される。i を別の用途(電流など)に使いたいときは、j が使われる。同時に複数の虚数単位を扱う時には、3つの場合は i, j, k を、7つ以上は i1, i2, … などとすることが多い。

目次

定義

虚数単位 i は、2項多項式 x2 + 1 の2つの根の内、任意の一方のこと(いずれか一方を i とすれば、どちらをとるかに関わらず他方はかならず -i)であり、 Template:Indent と、表すことができる。

「実数の全体と虚数単位 i を含み四則演算が自由にできる(になる)」という仮定を満たす最小の集合を複素数体、その元を複素数といい、実数でない複素数のことを虚数という。

同様に、「複素数の全体と、複素数に含まれない新たな虚数単位 j を含む最小の体」を四元数体といい、その元を四元数という。このとき、ij = k とおくと、kk2 = −1 を満たす。この i, j, k をそのまま虚数単位とすることもできるが、複素数体の場合に −ii と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、R3 の正規直交基底を一組選び、 Template:Indent によって写した像を新たに i, j, k とおいて虚数単位としてもよい。ただし、基底を左手系に取ると ij = -k となってしまうので、数学的な必然性はないが、慣習として右手系が選ばれる。

つまり虚数単位は、複素数四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数十六元数はさらに多くの虚数単位を持つ。

行列表現

線型代数学(あるいは線型表現)の知識を用いると、虚数単位が行列で表される。実際、 Template:Indent と定義される行列 J は、J2 = −EE は 2 次単位行列)という性質を持つ。これは、虚数単位 i の左からの積が引き起こす複素数体 C の一次変換を、表現空間 C を2次元実ベクトル空間 R2 とみて行列表現することによって得られる。

四元数についても同様に、四元数体 H における積を C2 に対して引き起こされる一次変換と見なすことにより Template:Indent という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。また、C2 と見なすのでなく R4 と見なせば、4 次の正方行列として表現することもできる。詳しくは四元数の項を参照されたい。

行列の積は結合的であるので、八元数や十六元数では(結合法則を満たさないから)このような表示はできない。

他の表記法

電気工学とその関連分野では、電流の時間関数に i(t) や i を用いるため、混乱を避けるべく虚数単位によく j が使われる。プログラミング言語 Python でも虚数単位に j を使用する。

多少余計なことだが、j = −i と定義する特定の教科書に騙されないよう注意する必要がある。とくに進行波については注意する必要がある(例えば、<math>e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)}</math>のx方向で右へ進行する平面波)。

一部のテキストは、混乱を避けるために虚数単位にギリシャ文字イオタを使う。 例: 複素型四元数

関連項目

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bg:Имагинерна единица cs:Imaginární jednotka da:Imaginær enhed en:Imaginary unit eo:Imaginara unuo et:Imaginaarühik fa:یکه موهومی fi:Imaginaariyksikkö fr:Unité imaginaire gl:Unidade imaxinaria hu:Imaginárius egység ia:Unitate imaginari it:Unità immaginaria jbo:ka'o ko:허수 단위 lt:Menamasis vienetas lv:Imaginārā vienība nl:Imaginaire eenheid no:Imaginær enhet pl:Jednostka urojona pt:Unidade imaginária ru:Мнимая единица simple:Imaginary unit sl:Imaginarna enota sr:Имагинарна јединица sv:Imaginära enheten th:หน่วยจินตภาพ tr:İ sayısı tt:Уйланма берле uk:Уявна одиниця ur:Imaginary unit vi:Đơn vị ảo yo:Ẹyọ tíkòsí zh:虛數單位 zh-yue:虛數單位

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