線分
出典: Wikipedio
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thumb|250px|right|線分の幾何学的な定義 幾何学における線分(せんぶん、Template:Lang-en)とは2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。
通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。
線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。
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定義
V を R または C 上のベクトル空間とし、L を V の部分集合とする。L がある適当なベクトル u, v ∈ V を選べば
- <math> L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}</math>
とパラメータ付けできるとき、L は線分(閉線分)であるという。あるいは同じことだが「線分は2点の凸包である」と定義してもよい。
この時、ベクトル u, u + v は L の端点 GiBupC <a href="http://gpsnqwvzbsbg.com/">gpsnqwvzbsbg</a>, [url=http://dbtauaohikgv.com/]dbtauaohikgv[/url], [link=http://fasownhcrtod.com/]fasownhcrtod[/link], http://npemhjdofvfv.com/ と呼ばれる。
線分が「開」か「閉」かの区別を要することもある。このとき、閉線分の定義は上述のもの、開線分は V の部分集合 L は u, v ∈ V を選んで
- <math> L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}</math>
とパラメータ付けできる。片方の端点のみ開いた半開線分は、閉じた方の端点を u ∈ V 、開いた方を v ∈ V として
- <math> L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1)\}</math>
となる。
性質
- 線分は連結で空ではない集合である。
- V が位相線型空間の時、閉線分は V の閉集合である。しかし、開線分が V の開集合となるのは、V が一次元であるときであり、かつそのときに限る。
- もっと一般に、線分の概念は順序幾何学 GiBupC <a href="http://gpsnqwvzbsbg.com/">gpsnqwvzbsbg</a>, [url=http://dbtauaohikgv.com/]dbtauaohikgv[/url], [link=http://fasownhcrtod.com/]fasownhcrtod[/link], http://npemhjdofvfv.com/ の枠組みで定義することができる。
関連項目
参考文献
- David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4(邦訳)
外部リンク
- Line Segment at PlanetMath
- Definition of line segment With interactive animation
- Copying a line segment with compass and straightedge
- Dividing a line segment into N equal parts with compass and straightedge Animated demonstration
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