平面波

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平面波基底 から転送)

平面波(へいめんは)とは波数ベクトルを法線ベクトルとする等値平面から成る周期関数のことである。波動方程式の固有解に現れる。

目次

正弦平面波

正弦平面波は、正弦波の多次元への拡張の一つで、代表的な平面波である。正弦平面波には、実正弦平面波と複素正弦平面波がある。 正弦平面波のことを単に平面波ということもあるが、正弦平面波ではない平面波もある。

実正弦平面波の一般式

実正弦平面波は、数学的には振幅A(実定数)、波数ベクトル<math>\textbf{K}</math>(実定数ベクトル)、位相項<math>\delta</math>(実定数)の3つの定数/定数ベクトルで 特徴づけられる。一般に、n次元の実正弦平面波は、

<math>A\cos(\textbf{K}\cdot\textbf{X}+\delta)</math> (1-1)

の形で表わされる。ここで、波数ベクトルと変数は、共にn次元ベクトルであり、成分であらわすと、それぞれ

<math>\textbf{K}=\left(

 \begin{array}{c}
{K}_{1}\\
\vdots\\
{K}_{n}\\
 \end{array}

\right)</math>

<math>\textbf{X}=\left(

 \begin{array}{c}
{X}_{1}\\
\vdots\\
{X}_{n}\\
 \end{array}

\right)</math>

となる。また、<math>\textbf{K}\cdot\textbf{X}</math>は、内積であり、成分で書くと

<math>{\sum}_{i=1}^{n}{K}_{i}{X}_{i}</math>

となる。

物理学では、変数<math>\textbf{X}</math>を空間変数<math>\textbf{x}</math>と時間変数<math>t</math>の2つにわけ、 <math>\textbf{X}=(\textbf{x},t)</math>のように分ける。つまり、変数の最後の成分<ref name=saisyo>文献によっては最初の成分を時間変数にする場合もあるが、本記事では、時間変数は最後の成分にする。</ref>を時間変数と考える。これに応じて、波数ベクトル<math>\textbf{K}</math>も、空間成分<math>\textbf{k}</math>と、時間成分ωに分け、

<math>\textbf{K}=\left(

 \begin{array}{c}
{K}_{1}\\
\vdots\\
{K}_{n-1}\\

\omega

 \end{array}

\right)</math>

<math>\textbf{X}=\left(

 \begin{array}{c}
{X}_{1}\\
\vdots\\
{X}_{n-1}\\

t

 \end{array}

\right)</math>

とし、

<math>A\cos(\textbf{k}\cdot\textbf{x}+\omega\cdot t+\delta)</math> (1-1')

のように書く。

複素正弦平面波の一般式

実正弦平面波は、重ね合わせの計算などが面倒であることから、計算上のテクニックとして実正弦平面波の値域を、オイラーの公式

<math>\exp(i\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)</math>

を用いて 複素数域に拡張した複素正弦波が発案された。古典物理では、今でも複素平面正弦波は、実正弦平面波の重ね合わせを計算するための便宜にすぎないが、量子力学では、複素平面正弦波をもちいらねば説明がつかない現象があるため、現在では、計算上の便宜のためだけのものではない。

複素正弦平面波は数学的には、振幅A(複素定数)、波数ベクトル<math>\textbf{K}</math>(実定数ベクトル)、位相項<math>\delta</math>(実定数)の3つの定数/定数ベクトルで 特徴づけられる。一般に、n次元の複素正弦平面波は、

<math>A\exp{i}(\textbf{K}\cdot\textbf{X}+\delta)</math> (2-1)

の形で表わされる。ここで、iは虚数単位、波数ベクトルと変数は、共にn次元実数ベクトルであり、成分であらわすと、それぞれ

<math>\textbf{K}=\left(

 \begin{array}{c}
{K}_{1}\\
\vdots\\
{K}_{n}\\
 \end{array}

\right)</math>

<math>\textbf{X}=\left(

 \begin{array}{c}
{X}_{1}\\
\vdots\\
{X}_{n}\\
 \end{array}

\right)</math>

となる。また、<math>\textbf{K}\cdot\textbf{X}</math>は、内積であり、成分で書くと

<math>{\sum}_{i=1}^{n}{K}_{i}{X}_{i}</math>

となる。

物理学では、変数<math>\textbf{X}</math>を空間変数<math>\textbf{x}</math>と時間変数<math>t</math>の2つにわけ、 <math>\textbf{X}=(\textbf{x},t)</math>のように分ける。つまり、変数の最後の成分<ref name=saisyo>文献によっては最初の成分を時間変数にする場合もあるが、本記事では、時間変数は最後の成分にする。</ref>を時間変数と考える。これに応じて、波数ベクトル<math>\textbf{K}</math>も、空間成分<math>\textbf{k}</math>と、時間成分ωに分け、

<math>\textbf{K}=\left(

 \begin{array}{c}
{K}_{1}\\
\vdots\\
{K}_{n-1}\\

\omega

 \end{array}

\right)</math>

<math>\textbf{X}=\left(

 \begin{array}{c}
{X}_{1}\\
\vdots\\
{X}_{n-1}\\

t

 \end{array}

\right)</math>

とし、

<math>A\exp{i}(\textbf{k}\cdot\textbf{x}+\omega\cdot t+\delta)</math> (2-1')

のように書く。

複素正弦平面波を用いた実正弦平面波の重ね合わせ

<math>{a}_{j},{\theta}_{j}</math> <math>j=1,2,\cdots, m</math> を実定数、<math>{{a}_{j}}\ge 0</math>としたときに、重ね合わせ

<math>\sum\limits_{j=1}^{m}{{{a}_{j}}}\cos (i{{\theta }_{j}})</math> (1)

を計算する問題を考える。

オイラーの公式

<math>exp(i\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)</math> (2)

より、 <math>{a}_{j}\exp(i{\theta}_{j})={a}_{j}\left( \begin{array}{c} \cos{\theta}_{j}\\ \sin{\theta}_{j}\\

 \end{array}

\right)</math> (3)

とみなすことができる。

式(3)の右辺に、ベクトルの平行四辺形則を適用すると

<math>\left\{ \begin{array}{l} i)\ {a}=|{\sum}_{j=1}^{m}{a}_{j}\exp(i{\theta}_{j})|\\ ii)\ {\theta}=arg({\sum}_{j=1}^{m}{a}_{j}\exp(i{\theta}_{j}))\\

 \end{array}

\right.</math> (4)

としたときに、

<math>a\cos \theta =\sum _{j=1}^{m}{{a}_{j}}\cos(i{{\theta }_{j}})</math>  (5)

が成り立つ。

従って、重ね合わせ(1)を計算する問題は、式(4)のⅰ), ⅱ)を求める問題に帰着される。   ここで、<math>{{\theta }_{j}}</math> (<math>j=1,2,\cdots, m</math>) は実定数なので、

<math>{(exp(ik\theta))}^{*}=exp(-ik\theta)</math> (6)

が成り立つ。但し、<math>{}^{*}</math>は、複素共役を意味する。このことに注意して、<math>{a}^{2}</math>の展開を行うと

<math>{a}^{2}={({\sum}_{j=1}^{m}{a}_{j}\exp(i{\theta}_{j}))({\sum}_{l=1}^{m}{a}_{l}\exp(-i{\theta}_{j}))}</math> <math>={\sum}_{j,l=1}^{m}{a}_{j}{a}_{l}exp(i({\theta}_{j}-{\theta}_{l}))</math> (7)

が成立する。式(7)と、条件<math>{{a}_{j}}\ge 0</math>を考え併せると、式(4)は、

<math>\left\{ \begin{array}{l} i)\ {a}^{2}={\sum}_{j,l=1}^{m}{a}_{j}{a}_{l}exp(i({\theta}_{j}-{\theta}_{l}))\\ ii)\ {\theta}=arg({\sum}_{j=1}^{m}{a}_{j}\exp(i{\theta}_{j}))\\

 \end{array}

\right.</math> (4’)

と変形できる。従って、重ね合わせ(1)を計算する問題は、式(4’)のⅰ), ⅱ)を求める問題に帰着される。計算上の便宜としての複素正弦波を持ち出す最大の理由は、(4)-i)から(4’)-i)が導き出せることにある。

一般には、これ以上簡単な形に変形することは難しいが、いくつかの特殊な場合には振幅の項あるいは位相項の片方あるいは両方がより簡単な形になる。 例えば

<math>{\theta}_{1}=\textbf{k}\textbf{x}-\omega{t}</math>

<math>{\theta}_{2}=\textbf{k}\textbf{x}-\omega{t}+\delta</math>

<math>m=2</math>

のときには、

<math>{a}=\sqrt{{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+2{a}_{1}{a}_{2}\cos\delta}</math>

となる。この問題は、2つの位相差のある平面正弦波の重ねあわせの問題である。

平面波と多重周期性

多重周期性の定義

多重周期性に関して必要最小限のことを補足説明する。(周期関数も参照のこと。)

<math>f\ </math>がn次元実数ベクトル空間 (<math>\mathbb{R}^{n}</math>)<ref name=rn> <math>{{\mathbb{R}}^{n}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}

  {{x}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{x}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}

  {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb{R}  \\

\end{matrix} \right. \right\} \right.</math>

つまり、<math>\mathbb{R}^{n}</math>とは、n個の実数<math>{{x}_{1}}\ ,\ \cdots \ ,\ {{x}_{n}}</math>を用いて

<math>\left( \begin{matrix}

  {{x}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{x}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>    の形で表せるもの全てを集めてきたものである。</ref>で定義された実、又は複素数値関数とする。

n次元数ベクトル

<math>\mathbf{T}=\left( \begin{matrix}

  {{t}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{t}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

が、<math>f</math>の周期(l重周期;多重周期)であるとは、<math>f</math>の定義域上の任意の点

<math>\mathbf{x}=\left( \begin{matrix}

  {{x}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{x}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

に対して、

<math>f(\mathbf{x}+\mathbf{T})=f(\mathbf{x})</math>

が成立することを意味する。

(0)ゼロ周期の存在

ゼロベクトル

<math>\mathbf{0}=\left( \begin{matrix}

  0  \\

\vdots \\

  0  \\

\end{matrix} \right)</math>

は、任意の関数の周期となっているため、「自明な周期」といわれる。 書物によっては、自明な周期(つまり、ゼロベクトル)を<math>f\ </math> の周期に含まない 定義を採用している場合もあるが、便利が悪いので、本稿ではこれも周期と考える。


(1)周期の和

<math>n</math>次元数ベクトル

<math>\mathbf{T}=\left( \begin{matrix}

  {{t}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{t}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math> ,<math>\mathbf{S}=\left( \begin{matrix}

  {{s}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{s}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

の和

<math>\mathbf{T}+\mathbf{S}=\left( \begin{matrix}

  {{t}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{t}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}

  {{s}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{s}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

も<math>f\ </math>の周期となる。

(2)周期の整数倍

<math>z</math>を整数、

<math>\mathbf{T}=\left( \begin{matrix}

  {{t}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{t}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

としたとき、

<math>z\mathbf{T}=\left( \begin{matrix}

  z\cdot {{t}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  z\cdot {{t}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math>

(0)~(2)の事実をまとめて、「周期は<math>\mathbb{Z}</math>加群である」という。

また、 <math>{\textbf{T}}_{1},\textbf{T}_{2}</math>が<math>f\ </math> の周期、<math>{z}_{1},\ {z}_{2}</math>が整数であるとき、

<math>{z}_{1}{\textbf{T}}_{1}+{z}_{2}\textbf{T}_{2}</math>

もまた、<math>f\ </math>の周期である。さらに、 帰納して、

<math>{\textbf{T}}_{1},\cdots, \textbf{T}_{l}</math>が<math>f\ </math> の周期、<math>{z}_{1},\cdots ,\ {z}_{l}</math>が整数であるとき、

<math>{z}_{1}{\textbf{T}}_{1}+\cdots +{z}_{l}\textbf{T}_{l}</math>

もまた、<math>f\ </math>の周期である。

<math>{z}_{1}{\textbf{T}}_{1}+\cdots +{z}_{l}\textbf{T}_{l}</math>

のような形式を、<math>\mathbb{Z}</math>結合という。つまり、周期の<math>\mathbb{Z}</math>結合 も周期である。 但し、 周期の線形結合(<math>\mathbb{R}</math>結合)は 必ずしも周期とはならない。 つまり、<math>{\lambda}_{1},\cdots ,{\lambda}_{l}</math> を実数、<math>\textbf{T}_{1},\cdots ,\textbf{T}_{l}</math>が 関数<math>f\ </math>の周期としても、

<math>{\lambda}_{1}{\textbf{T}}_{1}+\cdots +{\lambda}_{l}\textbf{T}_{l}</math>

は必ずしも、<math>f\ </math>の周期とは限らない。


<math>l</math>個の<math>n</math>次元ベクトル、 <math>\textbf{T}_{1},\cdots ,\textbf{T}_{l}</math>が、 <math>f\ </math>の基本周期であるとは、以下を充たすこととする。

  1. <math>\textbf{T}_{1},\cdots ,\textbf{T}_{l}</math>は、<math>\textbf{0}</math>ではない。
  2. <math>\textbf{T}_{1},\cdots ,\textbf{T}_{l}</math>は、<math>\mathbb{Z}</math>独立である。
  3. <math>\textbf{T}</math>が<math>f\ </math>の周期である限り、必ず適当な整数<math>{z}_{1},\cdots ,{z}_{l}</math>を用いて、以下のようにあらわすことができる。
<math>\textbf{T}={z}_{1}\textbf{T}_{1}+\cdots +{z}_{l}\textbf{T}_{l}</math>

正弦平面波の多重周期性

<math>f</math>を、n次元実正弦平面波、あるいは、n次元複素正弦平面波とし、<math>f</math>の波数ベクトルを、<math>\mathbf{K}</math>とする。

<math>\mathbf{T}</math>が<math>f</math>の周期であるとき、

<math>\mathbf{K}\bullet \mathbf{T}=\left( \begin{matrix}

  {{k}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{k}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)\bullet \left( \begin{matrix}

  {{t}_{1}}  \\
  \vdots   \\
  {{t}_{n}}  \\

\end{matrix} \right)</math><math>={{k}_{1}}{{t}_{1}}+\cdots +{{k}_{n}}{{t}_{n}}</math><math>\equiv 2\pi </math>

が成立する。つまり、適当な整数<math>m</math>を用いて、


<math>\mathbf{K}\bullet \mathbf{T}=2m\pi </math>

と表すことができる。実際、 <math>\exp (i(\mathbf{K}\bullet (\mathbf{x}+\mathbf{T})))=\exp (i(\mathbf{K}\bullet \mathbf{T}))\cdot \exp (i(\mathbf{K}\bullet \mathbf{x}))</math>

であり、<math>\textbf{T}</math>が<math>f</math>の周期とすると、

<math>\exp (i(\mathbf{K}\bullet \mathbf{T}))=\exp (i(2m\pi ))=1</math>

なので、

<math>\exp (i(\mathbf{K}\bullet (\mathbf{x}+\mathbf{T})))=\exp (i(\mathbf{K}\bullet \mathbf{x}))</math>


となる。実平面正弦波の場合にも、具体的な計算から確かめることができる。

特に、<math>\textbf{T}_{1}</math>,<math>\textbf{T}_{2}</math>が、

<math>\mathbf{K}\bullet {{\mathbf{T}}_{1}}=0</math>

<math>\mathbf{K}\bullet {{\mathbf{T}}_{2}}=0</math>

をみたすとき、任意の実数<math>{\lambda}_{1}</math> ,<math>{\lambda}_{2}</math>に対して、

<math>{{\lambda }_{1}}{{\mathbf{T}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{\mathbf{T}}_{2}}</math>

も又、<math>f</math>の周期となる(もちろん、<math>\textbf{T}_{1}</math>,<math>\textbf{T}_{2}</math>自身も<math>f</math>の周期である)。さらに、帰納して、 <math>\mathbf{K}\bullet {{\mathbf{T}}_{i}}=0</math>  (<math>i=1,2,\cdots,l</math>)

を満たす<math>\mathbf{T}_{1},\cdots\, \mathbf{T}_{l}</math>と、任意の実数<math>{\lambda}_{1},\cdots,{\lambda}_{1}</math>に対して、

<math>{\lambda}_{1}{\textbf{T}}_{1}+\cdots +{\lambda}_{l}\textbf{T}_{l}</math>

もまた、<math>f</math> の周期となる。

第一原理バンド計算における平面波

波動関数は、基底関数で展開した形で記述することができる。この時に用いられる基底の一つに平面波基底(Plane wave basis)がある。バンド計算における表式化が比較的簡単で(それ故、プログラムも構築し易い)ストレスの計算も他の基底(局在基底など)を使った場合より容易に実現が可能である。また、平面波基底では、Pulay補正項の問題が回避できることも利点の一つ。

欠点は、例えば波動関数電荷密度を、s、p、d 軌道毎に分けたい場合や、ユニットセル内の特定の原子電荷を求めることが、困難になることである。

関連項目

脚注

<references/>cs:Rovinná vlna de:Ebene Welle en:Plane wave es:Onda plana fi:Tasoaalto fr:Onde plane he:גל מישורי it:Onda piana ka:ბრტყელი ტალღა lt:Plokščia banga pl:Fala płaska pt:Onda plana uk:Монохроматична плоска хвиля zh:平面波

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