ブロッホの定理

ブロッホの定理(ブロッホのていり、Bloch's theorem)は、物理学の法則の1つ。1928年に、フェリックス・ブロッホによって提出された。固体物理学で結晶中の電子状態を論ずる際に重要な役割を果たす定理である。

定理の主張

ブロッホの定理は、以下のような2つの形式で表される。2つの形式は等価であり、一方から他方を導くことは容易である。

周期ポテンシャル<math>V(\vec{r}) = V(\vec{r}+\vec{R})</math>中の1電子の量子力学的なハミルトニアン演算子を<math>\hat{H}</math>とする。すなわち、

<math>\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})</math>

このとき、<math>\hat{H}</math>の固有関数として次のような形の関数を選ぶことができる。

上記の<math>\hat{H}</math>の固有関数として、次のような形の関数を選ぶことができる。

ここでは、形式1を証明することにする。

並進操作の演算子<math>\hat{T}_{\vec{R}}</math>を、

で定義する。このとき、ハミルトニアン<math>\hat{H}</math>は並進操作<math>\hat{T}_{\vec{R}}</math>と可換になる。すなわち、

が成り立つ。そのため、ハミルトニアンの固有関数<math>\psi \,</math>を、並進操作<math>\hat{T}_{\vec{R}}</math>の固有関数にもなるように選ぶことができる。

<math>\hat{T}_{\vec{R}}\,\psi</math>と<math>\psi</math>のノルムは1であるので、<math>\hat{T}_{\vec{R}}</math>の固有値<math>\chi_{\vec{R}}</math>は

をみたす。ここで、周期境界条件を仮定すると、

となるので、

となる。ゆえに、Nが無限大の極限において

<math>\psi_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R})=

\exp(i\vec{k}\cdot\vec{R})\psi_\vec{k}(\vec{r})</math> が成立する。

上述の<math>\vec{k}</math>を波数ベクトルといい、<math>\psi_\vec{k}(\vec{r})</math>をブロッホ関数(Bloch function)と呼ぶ。

また、ブロッホ関数で表される1電子状態をブロッホ状態(Bloch state)、この状態にある電子をブロッホ電子(Bloch electron)と言う。ブロッホ関数の重ね合わせで出来る波、或いはブロッホ関数自身をブロッホ波(Bloch wave)と言う。