フェルマーの最終定理

出典: Wikipedio


[[ファイル:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|thumb|350px|フェルマーの解説、特に彼の「最後の定理」(Observatio Domini Petri de Fermat)を含む1670年版ディオファントスの『算術』。]]

フェルマーの最終定理(フェルマーのさいしゅうていり)とは、3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがない<ref>これに対して n = 2 のとき、上の式を満たす整数の組は無数に存在し、ピタゴラス数と呼ばれる。</ref>、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。

フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らくその証明も反例も知られなかったことからフェルマー予想とも称されたが、360年後にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、フェルマー・ワイルズの定理と呼ばれるに至る。

目次

概略

17世紀フランスの数学者ピエール・ド・フェルマー(1601年 - 1665年)は、古代ギリシャの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した(例えばフェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのはライプニッツである)。

48ヶ所におよぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後、彼の息子サミュエルによって、フェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである(フェルマーの書き込み入りの『算術』原本は今日では失われている<ref>フェルマーの読んでいた『算術』は、1621年にギリシャ語からラテン語に翻訳された版である</ref>)。

第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ<ref>ここで、平方数とは有理数の平方を意味する。他の冪も同様。よって、『算術』の元の問題を現代風に表現すれば、有理数 a に対し、x2 + y2 = a2 の正の有理数解を(ひとつ)求めよ、ということである。</ref>」の欄外余白に、フェルマーはTemplate:Quoteと書き残した。彼の残した他の書き込みは、すべて真か偽かの決着がつけられたが、最後まで残ったこの予想だけは、誰も証明することも反例をあげることもできなかった。そのため「フェルマーの最終定理」と呼ばれるようになり、プロ・アマチュアを問わず、無数の数学者がその証明に挑んだ。

個別研究の時代

証明は、n = 4のときと n が素数のときのみ考えればよい。たとえば、n = 6 のときは (x2)3 + (y2)3 = (z2)3 と書き直すことができるからだ。n が具体的な値をとるいくつかの場合についてはさまざまな証明が与えられた。

n = 4 :フェルマー

フェルマー自らが1640年に、以下の手法、法則、定理を使い証明した。

  • 指数の公式に従ってx4+y4=z4を(x2)2+(y2)2=(z2)2に変換し、ピタゴラスの定理を利用する。
  • xyz互いに素であるとする。
  • 定理「互いに素である2つの数の積が平方数であるならば、2つの数もそれぞれ平方数である。」
  • xを偶数、zyを奇数とする。
  • 偶数奇数の性質
  • 無限降下法

フェルマーによる証明は後にオイラーによって簡潔な形で直される。

n = 3 :オイラー

オイラーは1753年ゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し、 1770年に刊行した著書でそれを明らかにした。ただし、この証明は虚数のレベルまで因数分解を行ったものであったが、 虚数のレベルまで因数分解をすると様々な複素数の積に分解できてしまうという不備があったので、のちに補正された。

n = 5 :ソフィ・ジェルマン

ソフィ・ジェルマンは、フェルマー予想を 「1) x, y, z のいずれかが n で割り切れる」 「2) x, y, z のいずれも n では割り切れない」 という2つのパターンに分類し、100以下のすべての n について、パターン 1) に関してはフェルマー予想が正しいことを証明した。 しかし、フェルマー予想の反例が含まれるかもしれないパターン 2) に関しての研究は難航した。 パターン 2) も含めて n = 5 の場合を完全に証明したのはディリクレルジャンドルであるが、ジェルマンまでは(そしてジェルマン以降も当面は)「n = 3 のとき」あるいは「n = 4 のとき」といった個別研究の域を出なかったこの問題に対し、指数の範囲が限られているとはいえ包括的な証明を与えようとした点において、ジェルマンの研究成果の意義はきわめて大きい。

n = 14 および 7 :ラメ

1832年にディリクレn = 14 の場合を証明したが、上述の通り n が素数である場合の方が肝要なので、これは n = 7 の場合を証明するための途中経過であった。しかし実際に n = 7 の場合を証明したのはラメ1839年)と、ラメの証明に含まれていた誤りを訂正したヴィクトル・ルベーグ1840年)であった。

1847年、ラメは「フェルマー予想の一般的解法を発見した」と発表し、同じ解法を自分の方が先に発見していたと主張するコーシーとのあいだで論争にまでなった。しかしこの解法とは xn + yn = zn の左辺を複素数で素因子分解するというものであり、この分解は一意的なものでないためこの問題に関する解法たりえていないことが指摘される。

また、 n = 7 の場合についてのラメの証明があまりにも複雑なものだったため、同様の手法で n = 11 や 13 の場合について研究してみようと思う者はいなくなり、個別研究の時代は終わる。

クンマーの理想数

コーシーとラメが争っていたのと同じころ、エルンスト・クンマーがみずから打ち立てた理想数の理論(後にデデキントイデアルの理論として発展させる)を導入する。これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、 n正則素数である(もしくは正則素数で割り切れる)すべての場合については証明がなされた。虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在するが、クンマーは 100 以下の非正則素数(37, 59, 67 の 3 個しかない)についてはそれぞれ個別に研究して解決した。その結果、 100 までのすべての素数 n について(当然 100 以下の素数を約数にもつすべての n についても)フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。

1850年、フランス科学アカデミーは、1816年に設けたまま受賞者の出なかった「フェルマー予想の証明者」のための懸賞金を(最終的解決でないことを承知の上で)クンマーに与えた。

近代的アプローチへ

モジュラー形式

ポアンカレ複素平面上の関数についての研究から、保型形式およびそのアイディアをさらに展開したモジュラー形式を案出する。

モーデル予想

ファルティングスによるモーデル予想の解決(1983年)により、フェルマー方程式 xn + yn = zn が整数解をもつならば(つまりフェルマー予想が誤りならば)その解の個数は本質的に有限個しかないことが証明される。この「有限個」が「実は 0 個」であることが示されればフェルマー予想は証明できたことになるが、この方向からの絞込みには行き詰まりが指摘されていた。ともあれ、この時点でフェルマー予想が「ほとんど全ての場合について正しい」ことが判明したと言うことはできた。

谷山・志村予想

1955年9月、日光で開催された整数論に関する国際会議で、谷山豊が提出した幾つかの「問題」を原型とする数学の予想。そこでは楕円曲線とモジュラー形式の間の深い関係が示唆されており、後に志村五郎によって定式化された。「すべての楕円曲線モジュラーである」という、発表当時は注目を引かなかったこの谷山・志村予想(今となっては証明されているが)が、のちにフェルマー予想の証明に大きな役割を果たすこととなる。

実はこの前年の1954年、ある保型形式に関するラマヌジャン予想の一部をアイヒラーが証明していた。そこでは「解析的ゼータ=代数的ゼータ」が示されており、谷山・志村予想の最初の実例と呼べるものだった。 このラマヌジャン予想→谷山・志村予想→ラングランズ予想→超ラングランズ予想という一連の流れ(ゼータの統一)は数論の中心的テーマの1つとなっている。

フライ・セール予想

1984年にフライはフェルマーの最終定理に対する反例 an + bn = cn からはモジュラーでない楕円曲線(フライ曲線): Template:Indent が得られ、これは谷山・志村予想に対する反例を与えることになるというアイディアを提示。セールによって定式化されたこの予想はフライ・セールのイプシロン予想と呼ばれ、1986年にケン・リベットによって証明された。

これらの経過は以下のように整理することができる。

  1. まず、フェルマー予想が偽である(フェルマー方程式が自然数解をもつ)と仮定する。
  2. この自然数解からは、モジュラーでない楕円曲線を作ることができる。
  3. 谷山・志村予想が正しいならば、モジュラーでない楕円曲線は存在しない。
  4. 矛盾が導かれたので、当初の仮定が誤っていることとなる。
  5. したがって、フェルマー予想は真である。(背理法

つまり、谷山・志村予想が証明されたならば、それはフェルマーの最終定理が証明されたことをも意味するのである。

最終的解決

プリンストン大学にいたイギリス生まれの数学者アンドリュー・ワイルズ岩澤主予想en:Iwasawa main conjecture)を解決するなどして、もともと数論の研究者として有名な人物であった。彼は10歳当時に触れたフェルマー予想に憧れて数学者となったが、プロとなってからは子供時代の夢は封印し、フェルマー予想のような孤立した骨董品ではなく主流数学の研究に勤しんでいた。ところが1986年、ケン・リベットフライ・セール予想を解決したことにより、フェルマー予想に挑むことは、何と主流数学の一大予想に挑むことと同義になってしまった。かつての憧れだったものが、今や骨董品どころか解かずには済まされない中心課題の1つになったのである。ワイルズはこのことに強い衝撃を受け発奮、正にフェルマー予想の解決を目的として、他の研究を全て止めて谷山・志村予想に取り組むこととなった。但しこの際、彼は人々の耳目を集め過ぎることを懸念して、表面的には未発表の研究成果を小出しにすることで偽装し、谷山・志村予想の研究は秘密裏に遂行することとした。

ワイルズは、代数幾何学(特に楕円曲線群スキーム)や数論モジュラー形式ガロア表現ヘッケ環岩澤理論)の高度な道具立てを用いて証明を試みたが、類数公式の導出に当り岩澤理論を用いる方向では行き詰まってしまった。そこでコリヴァギン=フラッハ法ヴィクター・コリヴァギンとマティアス・フラッハの方法)に基づくよう方針転換し、最後のレビュー段階でプリンストンの同僚ニック・カッツの助けを得るまで、細部に至るまでの証明を完璧な秘密のうちにほぼすべて独力でなしとげた(ここまでで7年が経過していた)。彼がケンブリッジ大学1993年の6月21日から23日にかけて3つの講義からなるコースで証明を発表したとき、聴衆は証明に使われた数々の発想と構成に驚愕した。

ただし、その後の査読において、ワイルズの証明には一箇所致命的な誤りがあることが判明した。この修正は難航したが、ワイルズは彼の教え子リチャード・テイラーの助けを借りつつ、約1年後の1994年9月、障害を回避することに成功した。ワイルズ自身、その時の瞬間を「研究を始めて以来、最も大事な一瞬」と語っている。1994年10月に新しい証明を発表。1995年のAnnals of Mathematics誌において出版し、その証明は、1995年2月13日に誤りがないことが証明され<ref>1995年2月の毎日新聞縮小版より</ref>、360年に渡る歴史に決着を付けた。なお、証明の過程では、まずはコリヴァギン=フラッハ法を用いたが、それでは不十分だと判明したので、以前に採用してから放棄していた岩澤理論を併用することで、最終的な証明が完成した。

フェルマーの最終定理を証明した論文

備考

  • 詳細な歴史(st-and.ac.uk)
  • この証明はスキームなどの現代的な代数幾何の構成をもちいている。これはノイマンベルナイスゲーデル流の集合論NBG集合論)という、通常の集合に加えて類 (class) を考え、ただし集合に対する言明の真偽(証明可能性)はZFC集合論と同じになる(ZFCの保存的拡大という)ようにした枠組みで定義される。NBG集合論は本質的にはZFC集合論と同じもので、ZFC集合論に到達不能基数の存在公理を付け加えてグロタンディーク宇宙の構成を可能にしたもので置き換えられると考えられている。このことから最終定理の証明のために本当はどれだけの公理が必要なのかについては疑問が呈されてもいて、ZFCよりは弱い体系でも十分なのではないかと言われている。
  • 谷山・志村予想に関してワイルズとテイラーが証明したのは半安定とよばれる特殊な場合であった。フェルマーの最終定理(の反例)からくるであろう反例の可能性を排除するにはこれで十分だった。後に谷山・志村予想は完全に証明され、今では数論の1つの到達点とされてモジュラー性定理とよばれることもある。
  • フェルマーの最終定理の解決に至るまでの歴史には谷山・志村予想を提唱した谷山豊志村五郎の他にも岩澤健吉肥田晴三ら日本人数学者の理論が大きく寄与している。
  • フェルマー自身は n = 4 のときの証明を無限降下法によって与えているが、これは n = 3 および 4 のときにしか用いることができない。また、ワイルズによる最終的な証明に用いられた理論の大半はフェルマーの時代にはまだ発見・提唱されていないことから、「真に驚くべき証明を見つけた」という記述は、この無限降下法がすべての自然数に対して適用可能であるとの勘違いによるものとも考えられる。
  • 1988年に当時西ドイツのマックス・プランク数学研究所にいた、宮岡洋一が証明できそうだというニュースが報道された。ただし実際には不備があり、完全な証明には至らなかった。
  • 1908年、ドイツの富豪ヴォルフスケールは2007年9月13日までの期限付きでフェルマー予想の証明者に対して10万マルクの懸賞金を設けた(Wolfskehl Prize)。当然のことながらワイルズが受賞し、その賞金は約500万円程度であるが、第一次大戦後の大インフレがなければ十数億円であったといわれる。授賞式は1997年6月、ゲッチンゲン大学の大ホールにて、500人の数学者が列席する中執り行われた。
  • 現在も未解決の問題の大多数は、問題自体が難解な用語を用いなければ表現できないものであるのに対し、本定理は中学生程度の知識さえあれば理解できる内容であるため、数多くのアマチュア数学ファンがこれを解決しようと熱中し、数学を志す者も輩出された。最終的に解決に導いたワイルズ自身もそうした者の一人であった。その意味でも、数学界にとっては若い才能を持った者が数学への扉を叩く動機となる貴重な問題であったといえよう。

脚注

<references />

関連項目

参考文献

az:Böyük Ferma Teoremi be-x-old:Вялікая тэарэма Фэрма bg:Последна теорема на Ферма bn:ফের্মার শেষ উপপাদ্য bs:Fermatov posljednji teorem ca:Darrer teorema de Fermat cs:Velká Fermatova věta da:Fermats sidste sætning de:Großer fermatscher Satz el:Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά en:Fermat's Last Theorem es:Último teorema de Fermat fa:قضیه آخر فرما fi:Fermat'n suuri lause fr:Dernier théorème de Fermat gl:Último Teorema de Fermat he:המשפט האחרון של פרמה hi:फेर्मा का अन्तिम प्रमेय hu:Nagy Fermat-tétel id:Teorema Terakhir Fermat it:Ultimo teorema di Fermat jv:Teoréma Pungkasan Fermat ka:ფერმას დიდი თეორემა kk:Ферманың Ұлы теоремасы ko:페르마의 마지막 정리 lmo:Darée teurema da Fermat lt:Didžioji Ferma teorema lv:Fermā pēdējā teorēma mn:Фермагийн их теорем nl:Stelling van Fermat no:Fermats siste teorem pl:Wielkie twierdzenie Fermata pms:Grand teorema ëd Fermat pt:Último teorema de Fermat ro:Marea teoremă a lui Fermat ru:Великая теорема Ферма scn:Ùrtimu tiurema di Fermat simple:Fermat's last theorem sk:Veľká Fermatova veta sl:Fermatov veliki izrek sr:Последња Фермаова теорема sv:Fermats stora sats th:ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ tr:Fermat'nın son teoremi uk:Велика теорема Ферма vi:Định lý lớn Fermat zh:费马大定理

個人用ツール