ディラック方程式
出典: Wikipedio
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ディラック方程式（でぃらっくほうていしき）はフェルミ粒子に対する相対論的量子力学の基礎方程式である。
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歴史
ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出したが、負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。1930年に負のエネルギーの状態すべてがディラック粒子で満たされているとするディラックの海の概念によりその問題を解決した。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。
しかし、後の物理学者により、ディラックの海の概念（空孔理論）の拡張、解釈の見直しが行われている（下にある補足も参照）。
解説
ディラック方程式は自然単位系(<math>\hbar=1,c=1</math>)では
- <math>(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi(x)=0</math>
と表される。m はディラック粒子の質量であり、ψ は四成分スピノル(ディラックスピノル)である。
- <math> \psi(x) =
\begin{pmatrix} \psi_1(x)\\ \psi_2(x)\\ \psi_3(x)\\ \psi_4(x)\\ \end{pmatrix} </math>
ガンマ行列 (ディラック行列) <math>\gamma^\mu</math> (μ=0,1,2,3)は4×4行列で、
- <math>\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \}
\equiv \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu
= 2 \eta^{\mu\nu}</math>
を満たす（この行列の数学についてはクリフォード代数を参照）。 <math>\eta_{\mu\nu}</math>= diag(+1,-1,-1,-1) はミンコフスキー空間の計量テンソルである。
ガンマ行列の有用な表示として
- <math>\gamma^0 =
\begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \end{pmatrix} \qquad \gamma^j = \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \sigma^j \\ -\sigma^j & \mathbf{0} \\ \end{pmatrix} </math>
がある。これをワイル表示という。ここで、1,0 はそれぞれ2×2の単位行列及び零行列であり、σj (j =1,2,3)はパウリ行列である。 4成分のパウリ行列を<math>\sigma^\mu=(1,\sigma^j),\bar{\sigma}^\mu=(1,-\sigma^j)</math>とすれば、
- <math>\gamma^\mu =
\begin{pmatrix} \mathbf{0} & \sigma^\mu \\ \bar{\sigma}^\mu & \mathbf{0} \\ \end{pmatrix} </math> と書ける。
微分<math>\partial_\mu</math> (μ=0,1,2,3) は
- <math>\partial_\mu \equiv \frac{\partial}{\partial x^\mu}</math>
と定義される。ただし、x0=t, x1=x, x2=y, x3=zである。
ディラック方程式はディラックのハミルトニアン
- <math>H=-i\vec{\alpha}\cdot\nabla+\beta{}m</math>
(ただし、<math>\alpha^j = \gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0</math>)をもちいて、
- <math>i\frac{\partial\psi}{\partial{}t}=H\psi</math>
と表すこともできる。
- （補足）
- 非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として最初、クライン-ゴルドン方程式が考案されたが、これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた（この問題は、その後登場した場の理論により回避できる）。また、この方程式にはスピンが出てこない問題もあった。
ディラック方程式は、負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に出てくるが、依然として負のエネルギー解の問題が残った。これを解決するためにディラックは先にあるように空孔理論(Hole theory)を考案した。ディラックは当初この空孔による粒子を陽子と考えたが、それは後に陽電子であることが指摘された（ヘルマン・ワイル、ロベルト・オッペンハイマーによる）。
デヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見（1932年）により、この空孔理論は現実の現象を説明する優れた理論であったが、その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られ（相対論的な場の量子論）、真空での負エネルギーの電子の海（ディラックの海→空孔理論）を考えなくとも、電子-陽電子の問題を扱うことができるようになった（詳しくは量子電磁力学を参照）。
ローレンツ共変性
ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。
即ち、ローレンツ変換
- <math>x^\mu \rightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu</math>
- <math>\psi_a(x) \rightarrow \psi'_a(x) = [D(\Lambda)]_a{}^b\,\psi_b(\Lambda^{-1}x)</math>
(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、
- <math>(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi'(x)=0</math>
となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は
- <math>[D^{-1}(\Lambda)]_a{}^c \,[\gamma^\mu]_c{}^d \,[D(\Lambda)]_d{}^b
= \Lambda^\mu{}_\nu[\gamma^\nu]_a{}^b </math>
によって定まる。
ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて
- <math>D(\Lambda) =
\begin{pmatrix} M & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & (M^\dagger)^{-1} \\ \end{pmatrix} </math>
- <math>M^{-1}\sigma^\mu(M^\dagger)^{-1}
= \Lambda^\mu{}_\nu\sigma^\nu</math>
と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は
- <math>\Lambda^\mu{}_\nu =
\begin{pmatrix} \cosh\beta & 0 & 0 & \sinh\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh\beta & 0 & 0 & \cosh\beta \\ \end{pmatrix} </math>
- <math>M =
\begin{pmatrix} e^{-\beta/2} & 0 \\ 0 & e^{\beta/2} \\ \end{pmatrix} </math> となる。
ワイルスピノル
- <math>\gamma_5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3</math>
で定義される行列 γ5 は
- <math>(\gamma_5)^\dagger=\gamma_5
\quad (\gamma_5)^2=1 \quad \{\gamma_5,\gamma^\mu\}=0</math>
の性質を持つ。 γ5は固有値 ±1 をもち、カイラリティーと呼ばれる。
射影演算子 L,R を
- <math>L \equiv \frac{1-\gamma_5}{2}
\quad R \equiv \frac{1+\gamma_5}{2} </math> で定義する。ψ の左手(左巻き)成分、右手(右巻き)成分は
- <math>\psi_L \equiv L\psi
\quad \psi_R \equiv R\psi</math> で定義され、ψRはカイラリティー +1、ψLはカイラリティー -1 である。
ディラック方程式に射影演算子を作用させると、
- <math>i\gamma^\mu\partial_\mu\psi_R-m\psi_L=0</math>
- <math>i\gamma^\mu\partial_\mu\psi_L-m\psi_R=0</math>
となり、ディラック質量は右手成分と左手成分を混合する。
ワイル表示では
- <math>\gamma_5 =
\begin{pmatrix} -\mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \end{pmatrix} </math> となり、上2成分が左手成分、下2成分が右手成分となる。 この2成分スピノルをワイルスピノルと言う。
- <math>\psi(x)=
\begin{pmatrix} \xi(x) \\ \bar{\eta}(x) \\ \end{pmatrix} </math> ψディラックスピノル(4成分量), ξ,ηワイルスピノル(2成分量)
関連項目
bg:Уравнение на Дирак bn:ডিরাক সমীকরণ ca:Equació de Dirac cs:Diracova rovnice de:Dirac-Gleichung en:Dirac equation eo:Diraka ekvacio es:Ecuación de Dirac et:Diraci võrrand fa:معادله دیراک fr:Équation de Dirac he:משוואת דיראק hu:Dirac-egyenlet it:Equazione di Dirac ka:დირაკის განტოლება ko:디랙 방정식 no:Diracligningen pl:Równanie Diraca pt:Equação de Dirac ru:Уравнение Дирака sv:Diracekvationen tr:Dirac denklemi uk:Рівняння Дірака zh:狄拉克方程式 zh-yue:Dirac 方程
