テイラーの定理

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テイラーの定理（テイラーのていり、Template:Lang-en）とは、微分積分学における定理の一つで、関数をある一点における高階の微分係数を用いて近似するものである。イギリスの数学者ブルック・テイラーによって1712年に述べられたためにこの名称がある。正確に述べると、次のようになる。

関数 f が閉区間 [a, x] で n 回微分可能であるとき、

<math>f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^{k} + R_n(x)</math>

<math>R_n(x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x-a)^n</math>

を満たす c が開区間 (a, x) 内に存在する。ここで、R_n は剰余項（じょうよこう、GiBupC <a href="http://gpsnqwvzbsbg.com/">gpsnqwvzbsbg</a>, [url=http://dbtauaohikgv.com/]dbtauaohikgv[/url], [link=http://fasownhcrtod.com/]fasownhcrtod[/link], http://npemhjdofvfv.com/）と呼ばれる。

R_n の大きさを評価することで、近似がどれだけ正確であるかが分かる。f が無限回微分可能であり、R_n が0に収束する場合、すなわち

<math>\lim_{n \to \infty}R_n(x) = 0</math>

である場合、f(x) はテイラー展開が可能である。そのとき f は解析的(analytic)であるといわれる。

テイラーの定理は平均値の定理を一般化したものになっている。実際、上の式において n = 1 としたもの、つまり

<math>f(x) = f(a) + f'(c)(x-a)</math>

は平均値の定理に他ならない。また、テイラーの定理の証明には平均値の定理が用いられる。剰余項を積分表示したもの(ベルヌーイの剰余)を証明するには微積分学の基本定理を用いる。

剰余項

剰余項 R_n はいくつかの形で表わすことができ、場合に応じて使い分けられる。

ベルヌーイの剰余

<math>R_n(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x f^{(n)}(t) (x-t)^{n-1}\,dt.</math>

ロッシュ-シュレミルヒの剰余

<math>(0<p \le n)</math> となる任意の実数pについて、

<math>R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{(n-1)! p} (1-\theta)^{n-p} (x-a)^{n}</math>

を満たすようなθが開区間 (0, 1) 内に存在する。

ロッシュ-シュレミルヒの剰余において、p = 1とすれば、コーシーの剰余

<math>R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{(n-1)!} (1-\theta)^{n-1} (x-a)^{n}</math>

が得られる。またp = nとすれば、ラグランジュの剰余

<math>R_n(x) = \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!} (x-a)^{n}</math>

が得られる。ar:متسلسلة تايلور

ca:Teorema de Taylor cs:Taylorův polynom de:Taylor-Formel en:Taylor's_theorem es:Teorema de Taylor fr:Théorème de Taylor id:Teorema Taylor it:Teorema di Taylor nl:Stelling van Taylor pl:Wzór Taylora pt:Teorema de Taylor sr:Тејлорова формула zh:泰勒公式