グリーン関数

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グリーン関数（グリーンかんすう）は

1. ジョージ・グリーン (George Green) により導入された関数。微分方程式の解法を与える。本項で詳述。
2. J. A. Green により導入された組合せ論的関数。グリーン多項式とも。有限シュバレー群（オリジナルは有限体上の一般線型群）の既約表現を記述する数学的対象である。

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グリーン関数 (Green's function) とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。グリーン関数法は、英国の数学者ジョージ・グリーンによって考案された。

下の偏微分方程式の（初期値）境界値問題を例に考える。

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ここで、L は微分作用素、Ω は領域であり、領域の境界 Γ は、<math>\bar{y_1}</math> が規定されている境界 Γ₁ と、<math>\partial y/\partial n</math> が規定されている境界 Γ₂ からなり、Γ₁ ∪ Γ₂ = Γ、Γ₁ ∩ Γ₂ = ∅ であるものとする。また、n は境界での外向き法線方向を示す。

上記の問題に対するグリーン関数 G(x, x′) とは次の条件を満たす関数のことである。

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ここに、x′ はソース点の位置を表す。

物理学、数学、工学各分野において非常に重要な関数であり、広い用途で使用される。プロパゲータ、伝播関数と呼ばれることもある。また、無限領域におけるグリーン関数を基本解という。

ただし、境界が単純（無限領域、半無限領域、無限平板領域など）でない場合にはグリーン関数を解析的に求めるのは大変困難である。

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