グラム・シュミットの正規直交化法
出典: Wikipedio
|
|
グラム・シュミットの正規直交化法（グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、Gram-Schmidt orthonormalization）とは、内積を持つベクトル空間（計量ベクトル空間）に、ある線型独立なベクトルの組が与えられたとき、そこから正規直交系（それぞれのベクトルのノルムが 1 で、どの二つも互いに直交しているようなベクトルの組）を作り出すアルゴリズムのことである。シュミットの直交化（ちょっこうか、orthogonalization）ともいう。ノルムを 1 にする工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。
定義
計量ベクトル空間を V で表し、ベクトル v, w の内積を (v,w) と表すことにする。与えられたベクトルの線型独立系を {v0, v1, v2, ..., vn}とする。 まず、ベクトル v0 を選びだしてそのノルムで割る。すなわち、w0 = (v0, v0)-1/2v0 とする。以下、
- <math>
\begin{matrix} w'_1= &v_1-(w_0,v_1)w_0, &w_1=(w'_1,w'_1)^{-\frac{1}{2}}w'_1,\\ w'_2= &v_2-(w_0,v_2)w_0-(w_1,v_2)w_1, &w_2=(w'_2,w'_2)^{-\frac{1}{2}}w'_2,\\ \quad\ \vdots & &\vdots \qquad\ \qquad\ \\ w'_n= &v_n-\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}(w_i,v_n)w_i, &w_n=(w'_n,w'_n)^{-\frac{1}{2}}w'_n \end{matrix} </math>
によって順に新しいベクトルを作っていくと、{w0, w1, w2, ..., wn} は新しい線型独立系になる。構成から、正規であり、互いに直交していることは容易に分かる。
関連項目
cs:Gram-Schmidtova ortogonalizace de:Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren en:Gram–Schmidt process es:Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt fi:Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä fr:Procédé de Gram-Schmidt he:תהליך גרם-שמידט hr:Gram-Schmidtov postupak hu:Gram–Schmidt-eljárás is:Gram-Schmidt reikniritið it:Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ko:그람-슈미트 직교정규화 nl:Gram-Schmidtmethode pl:Ortogonalizacja Grama-Schmidta pt:Processo de Gram-Schmidt ro:Procedeul Gram–Schmidt ru:Процесс Грама ― Шмидта sk:Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces sq:Procedura Gram-Shmit sr:Грам-Шмитов поступак sv:Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess uk:Процес Грама — Шмідта zh:格拉姆-施密特正交化
